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【論文關(guān)鍵詞】定積分微元法

【論文摘要】微積分是與應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來(lái)的，它是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支，其應(yīng)用與發(fā)展已廣泛的滲透到了物理學(xué)，化學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)自然科學(xué)之中，是我們學(xué)習(xí)各門學(xué)科的重要工具。

微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的創(chuàng)立，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”。在數(shù)學(xué)史上，它的發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學(xué)做出了不朽的功績(jī)。恩格斯曾經(jīng)指出：微積分是變量數(shù)學(xué)最重要的部分，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支，它實(shí)現(xiàn)帶科學(xué)技術(shù)以及自然科學(xué)的各個(gè)分支中被廣泛應(yīng)用的最重要的數(shù)學(xué)工具。凡是復(fù)雜圖形的研究，化學(xué)反映過(guò)程的分析，物理方面的應(yīng)用，以及彈道﹑氣象的計(jì)算，人造衛(wèi)星軌跡的計(jì)算，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析等等，都要用得到微積分。正是由于微積分的廣泛的應(yīng)用，才使得我們?nèi)祟愒跀?shù)學(xué)﹑科學(xué)技術(shù)﹑經(jīng)濟(jì)等方面得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，解決了許多的困難。以下將講述一下定積分在計(jì)算圖行面積和體積，初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。

一、在計(jì)算圖形面積和立體圖形體積上的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)和生活中，我們常常會(huì)遇到一些計(jì)算圖形面積和體積的問(wèn)題，而且這些圖形大多是無(wú)規(guī)則的，對(duì)這些圖形的計(jì)算，如果用我們中學(xué)的計(jì)算面積和體積的數(shù)學(xué)公式是無(wú)法解決，因?yàn)橹袑W(xué)所學(xué)的這些公式都是對(duì)比較規(guī)則圖形實(shí)用。但是我們應(yīng)用了定積分，這樣的問(wèn)題就可迎韌而解。

1.計(jì)算平面圖形的面積

例1.求拋物線y=x2與直線x+y=2所圍的平面圖形的面積。

分析：根據(jù)題目，我以在坐標(biāo)系們可中畫出y=x2和x+y=2所圍的圖形，即（圖一）其中陰影部分就是所要求的平面圖形的面積。

解：由于拋物線y=x2與直線x+y=2在A（-2，4）及B（1，1）相交，

所以S=f（x）dx，其中f（x）=（2﹣x）﹣x2（-2≤x≤1），于是有

S=[（2-x）-x2]dx=（2x--）]1-2=9/2

2.求立體圖形的體積

用類似求圖形面積的思想，我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積，例如求一個(gè)木塊的體積，我們可以利用微元法，把木塊劃分成n份小塊，其每一小塊的體積厚度為△xi，假設(shè)每一小塊的橫截面積為A（x）i則此小塊的體積大約為A（xi）△xi，從而將其所有的小塊相加，我們可以得到其體積為V≈A（xi）△xi，并且當(dāng)其厚度△xi趨于零時(shí)，由定積分定義有V=A（x）dx（其中a與b分別為計(jì)算體積時(shí)的起始值和終了值）。對(duì)于旋轉(zhuǎn)體的體積，由于其平面截得旋轉(zhuǎn)體的截面是一個(gè)圓，則設(shè)曲線y=f（x），其截面面積為A（x）=?仔[f（x）]2。于是，所求體積為V=A（x）dx=?仔[f（x）]2dx。

例2.一塊由直線y=a和直線x=3a及弧y2=ax，（a>0a≤x≤3a）所共圍成的區(qū)域，以x軸為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的體積是多少？

分析：（圖二）斜線區(qū)域即為題意所指的區(qū)域，其旋轉(zhuǎn)積求法，可將區(qū)域ABQD的旋轉(zhuǎn)體積減去區(qū)域ABCD的旋轉(zhuǎn)體積，即為所求。

解：首先來(lái)求區(qū)域ABQD的旋轉(zhuǎn)體積：

V1=?仔?琢xdx=?仔?琢|=4?仔?琢3

而區(qū)域ABCD的旋轉(zhuǎn)體積為一個(gè)其半徑為a，高為2a的圓柱體，則V2=?仔?琢2•；2?琢=2?仔?琢3

∴區(qū)域CDQ的旋轉(zhuǎn)體積為：V=V1-V2=4?仔?琢3-2?仔?琢3=2?仔?琢3

二、在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

近些年來(lái)，定積分還越來(lái)越多的被應(yīng)用到初等數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題上面來(lái)，下面就來(lái)討論一下定積分在證明不等式，等式和一些數(shù)列的極限方面的應(yīng)用。

1.證明不等式和等式

在運(yùn)用積分來(lái)證明不等式時(shí)，一般要利用到積分的如下性質(zhì)：設(shè)f（x）與g（x）為定義在[a，b]上的兩個(gè)可積函數(shù)，若f（x）≤g（x），x∈[a，b]，則有：f（x）dx≤g（x）dx.

例3.設(shè)n∈N，求證：1n（n+1）<1++……+<1+1nn

證明：設(shè)是i任意一自然數(shù)，則有：

dx=1n|=1n-1n=1n-1n

在區(qū)間（，）上顯然有i<=idx從而得：1n-1n<………（1）

<1n-1n…………（2）

由（1）式得：[1n-1n]<，所以有1n<

由（2）式得：=1+<1+[1n-1n]=1+1n

于是，綜上所述：1n<1++……+<1+1n

以上是應(yīng)用定積分的性質(zhì)證明不等式，下面再看關(guān)于等式的證明。（注意：在運(yùn)用定積分證明等式時(shí)，要根據(jù)等式的特點(diǎn)，作輔助函數(shù)，然后再直接積分從而證明等式。）

例4.證明：c+++……+=

證明：設(shè)f（x）=c+cx+……+cx=（1+x）n

∵f（x）dx=cx+x2+……+x

同時(shí)又有：（1+x）ndx=

∴cx+x2+……+x=

∴當(dāng)x=1時(shí)，可得：c+++……+=

此外，定積分還可用來(lái)求和式，根據(jù)微分與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系，先對(duì)和式積分，利用已知數(shù)列的和式得到積分和，再求導(dǎo)數(shù)即可，這里就不在介紹了。

2.求數(shù)列和的極限

在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在計(jì)算一些數(shù)列和的極限時(shí)，可以利用定積分的計(jì)算法來(lái)求某些可以看成是積分和式的數(shù)列極限，這樣，我們可得出一種求極限的新方法：若f（x）在[a，b]上連續(xù)，將[a，b]等分為幾個(gè)小區(qū)間，△x=記分點(diǎn)為：?琢=x0于是：f（x0+i△x）△x=f（x）dx，并且有些數(shù)列的一般項(xiàng)?琢n總可以設(shè)法寫成?琢n=f（x0+i△x）△x，因此，有些數(shù)列的極限問(wèn)題，則可以轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算問(wèn)題。

例5.求：（++……+）

解：原式=（++……+）•；＝•；

取f（x）=且在[0，1]上連續(xù)，將[0，1]分成n個(gè)小區(qū)間，則有△x=，分點(diǎn)為：0<<<……<<=1，于是有：f（x0+i△x）△x=•；，由定積分的存在定理有：原式=•；=dx=1n（1+x）|=1n2。

總而言之，微積分是與應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來(lái)的。微積分的應(yīng)用推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天

文學(xué)，物理學(xué)，化學(xué)，工程學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展，而且隨著人類認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展，微積分正指引著人類走向認(rèn)知的殿堂。

參考文獻(xiàn)：

[1].華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等出版社，1987.

[2].劉書田，馮翠蓮.微積分[M].北京：高等教育出版社，2003.